Superficie de log-verosimilitud

Verosimilitud (Likelihood)

Uno de los métodos mas utilizados para la estimación de parámetros se le atribuye a Sir Ronald Fisher quien propuso la noción de verosimilitud como un método de estimación y como un criterio para comparar dos hipótesis (Cordeiro (1992)).

Problema:

Suponga que se tiene una distribución de probabilidad con función de densidad $f(x \sim \theta_1, \theta_2, \ldots, \theta_p)$ en la cual $\theta_1, \theta_2, \ldots, \theta_p$ corresponden a los parametros de la distribucion. Supongamos que se toma una muestra aleatoria $x_1, x_2, \ldots, x_n$.

¿Como utilizar la informacion muestral para estimar los parametros $\theta_1, \theta_2, \ldots, \theta_p$ de la distribucion?

Función de verosimilitud $L(\boldsymbol{\theta})$

La función de verosimilitud se denota por $L(\boldsymbol{\theta})$ y se define como:

\[ L(\boldsymbol{\theta})=\prod_{i=1}^{i=n}f(x_i | \theta_1, \theta_2, \ldots, \theta_p) \] donde $\boldsymbol{\theta}=(\theta_1, \theta_2, \ldots, \theta_p)^\top$ es el vector de parametros desconocido y a estimar.

Función de log-verosimilitud $l(\boldsymbol{\theta})$

La función de log-verosimilitud se denota por $l(\boldsymbol{\theta})$ y se define como:

\[ l(\boldsymbol{\theta})=\sum_{i=1}^{i=n} \log f(x_i | \theta_1, \theta_2, \ldots, \theta_p) \]

Método de Máxima Verosimiltud

El método consiste en encontrar valores para $\theta_1, \theta_2, \ldots, \theta_p$ de manera que hagan maximo el valor de $l(\boldsymbol{\theta})$, eso valores que se denotan por $\hat{\theta}_1, \hat{\theta}_2, \ldots, \hat{\theta}_p$ y corresponden a los estimadores de Máxima Verosimilitud.

Referencias

Gauss M. Cordeiro, (1992). Introducao a teoria de verossimilhanca. Rio de Janeiro, UFRJ.

library(shiny) require(grDevices) shinyServer(function(input,output,session){ observe({ inFile <- input$file1 if(is.null(inFile)) dt <- read.table('datos.txt', header=T, sep='\t') else dt <- read.csv(inFile$datapath, header=input$header, sep=input$sep) updateSelectInput(session, "product", choices = names(dt)) }) output$superficie <- renderPlot({ inFile <- input$file1 if(is.null(inFile)) dt <- read.table('datos.txt', header=T, sep='\t') else dt <- read.csv(inFile$datapath, header=input$header, sep=input$sep) x <- as.vector(dt[, input$product]) Dist <- ifelse(input$Distribucion == 'Normal', 'norm', ifelse(input$Distribucion == 'Weibull', 'weibull', 'gamma')) n.points <- 30 sigmas <- 3 #### loglik_function <- function(par1, par2) { eval(parse(text=paste('sum(d', Dist, '(x=x, par1, par2, log=T))', sep=''))) } loglik_function <- Vectorize(loglik_function) require(MASS) if (Dist == 'norm') fit <- fitdistr(x, densfun='normal') if (Dist == 'weibull') fit <- fitdistr(x, densfun='weibull') if (Dist == 'gamma') fit <- fitdistr(x, densfun='gamma') par1 <- seq(from=fit$estimate[1]-sigmas*fit$sd[1], to=fit$estimate[1]+sigmas*fit$sd[1], length.out=n.points) par2 <- seq(from=fit$estimate[2]-sigmas*fit$sd[2], to=fit$estimate[2]+sigmas*fit$sd[2], length.out=n.points) loglik <- outer(par1, par2, loglik_function) # To create the colors # --------------- jet.colors <- colorRampPalette( c("blue", "green") ) nbcol <- 100 color <- jet.colors(nbcol) ncz <- ncol(loglik) nrz <- nrow(loglik) zfacet <- loglik[-1, -1] + loglik[-1, -ncz] + loglik[-nrz, -1] + loglik[-nrz, -ncz] facetcol <- cut(zfacet, nbcol) # --------------- myplot <- persp(par1, par2, loglik, theta=30, phi=30, col=color[facetcol], ticktype = "detailed", nticks=4) mypoints <- trans3d(fit$estimate[1], fit$estimate[2], fit$loglik, pmat=myplot) points(mypoints, pch=19, col="red", cex=2) lines(trans3d(x=fit$estimate[1], y=par2[1:(n.points/2)], z=min(loglik), pmat=myplot), col=2, lty=2) lines(trans3d(x=par1[-(1:(n.points/2))], y=fit$estimate[2], z=min(loglik), pmat=myplot), col=2, lty=2) lines(trans3d(x=fit$estimate[1], y=fit$estimate[2], z=sort(loglik), pmat=myplot), col=2, lty=2) }) output$lateoria <- renderUI({ HTML(markdown::markdownToHTML(knit('lateoria.txt', quiet = TRUE))) }) })

library(shiny) # Define UI for random distribution application fluidPage( # Application title titlePanel("Superficie de log-verosimilitud"), sidebarLayout( sidebarPanel( h5('Esta aplicación sirve para dibujar la superficie de log-verosimilitud asociada a una distribución de 2 parámetros dados los valores de una variable ingresados por el usuario.'), br(), fileInput('file1', 'Use el siguiente botón para ingresar su base de datos.', accept = c( 'text/csv', 'text/comma-separated-values', 'text/tab-separated-values', 'text/plain', '.csv', '.tsv' ) ), checkboxInput('header', 'Marque la casilla si su base de datos tiene ENCABEZADO (header)', TRUE), radioButtons('sep', '¿Cuál es símbolo de separación dentro de su base datos?', c(Tab='\t', Comma=',', Semicolon=';' ) ), tags$hr(), selectInput("product", "Seleccione la variable para la cual quiere dibujar la superficie de log-verosimilitud",""), selectInput(inputId="Distribucion", label="Elija una distribución de dos parámetros:", choices=c("Normal", "Weibull", "Gamma"), selected="Normal"), p("App creada por el Semillero de R de la Universidad Nacional de Colombia."), tags$a(href="https://srunal.github.io", "https://srunal.github.io") ), # Show a tabset that includes a plot, summary, and table view # of the generated distribution mainPanel( tabsetPanel(type = "pills", tabPanel("Superficie", plotOutput("superficie", width="600px", height="600px")), tabPanel("Teoría", includeHTML("include.html")) ) ) ) )

Superficie de log-verosimilitud

Esta aplicación sirve para dibujar la superficie de log-verosimilitud asociada a una distribución de 2 parámetros dados los valores de una variable ingresados por el usuario.

Verosimilitud (Likelihood)

Función de verosimilitud \(L(\boldsymbol{\theta})\)

Función de log-verosimilitud \(l(\boldsymbol{\theta})\)

Método de Máxima Verosimiltud