¿Qué es un MLM?

Los modelos lineales mixtos son una generalización del modelo de regresión lineal que toma en cuenta tanto (1) la variación que se explica por los efectos fijos de las variables independientes de interés, y (2) la variación que no se explica por las variables independientes de interés - efectos aleatorios. Dado que el modelo incluye una mezcla de efectos fijos y aleatorios, se llama modelo mixto. Estos efectos aleatorios esencialmente dan estructura al término de error ε y explican los efectos individuales de las diferentes observaciones.

Este tipo de modelos contempla la posible existencia de observaciones correlacionadas o con variabilidad heterogénea.

Cuando un modelo líneal mixto tiene ambos, intercepto y pendiente aleatoria, significa que cada muestra (o individuo) del grupo tiene variación individual tanto en su intercepto como en su pendiente con respecto al individuo promedio (o poblacional); lo cual proporciona mayor flexibilidad al modelo.

Ecuación del modelo

Y_ij = β₀ + β₁ X_1ij + b_0i + b_1i X_1ij + ε_ij

Para i ∈ { 1,..., n } y j ∈ { 1,..., m_i }, donde

Y_ij ∈ ℜ es la respuesta de la j-ésima muestra del i-ésimo sujeto
β₀ ∈ ℜ es el intercepto fijo para el modelo de regresión
β₁ ∈ ℜ es la pendiente fija para el modelo de regresión
X_1ij ∈ ℜ es el predictor de la j-ésima muestra del i-ésimo sujeto
b_0i ~^iid N(0, σ_b0²) es el intercepto aleatorio para el i-ésimo sujeto
b_1i ~^iid N(1, σ_b1²) es la pendiente aleatoria para el i-ésimo sujeto
ε_ij ~ ^iid N(1, σ_ε²) es el termino para el error Gaussiano

Utilidad Modelo

Los modelos lineales mixtos pueden ser útiles al analizar los datos de ciertos experimentos, según la forma en que sean diseñados. Cuando hay factores que no le interesan pero que afectan a una observación, esto se denomina diseño bloqueado. Cuando, por ejemplo, desea probar cierto medicamento en una prueba médica. Un efecto aleatorio es entonces la respuesta individual de un sujeto de prueba. Esto generalmente se prueba durante un cierto período de tiempo, es decir, datos longitudinales. Puede haber ciertos grupos de sujetos que tienen un rendimiento diferente cuando se realizan los mismos experimentos en diferentes grupos, es decir, medidas repetidas. Otro ejemplo es datos anidados o cruzados.

Algunos de los campos en los cuales se aplica son: Tomografía computarizada, Biología, medicina, entre otros.

Referencias

http://eio.usc.es/pub/gridecmb/index.php/modelos-mixtos-utilizando-r
https://web.stanford.edu/class/psych252/section/Mixed_models_tutorial.html
https://beta.vu.nl/nl/Images/werkstuk-loon_tcm235-419752.pdf
http://users.stat.umn.edu/~helwig/notes/lmer-Notes.pdf