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Teorema del Límite Central

Es un teorema fundamental de probabilidad y estadística que establece que, la distribución de las medias de una muestrales \(\bar{x}_n\) provenientes de una población cualquiera con varianza finita (\(\sigma^2\)), convergen en distribución a una normal a medida que el tamano \(n\) de la muestra crece.

Simbólicamente

Si \(x_1, x_2, \ldots, x_n\) son una muestra aleatoria de una población cualquiera con media \(\mu\) y varianza finita \(\sigma^2\), la media muestral

\[\bar{x}_n= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}x_i\]

cumple que

\[\sqrt{n} \left( \bar{x}_n - \mu \right) / \sigma \overset{d}{\rightarrow} N(0, 1), \quad n \to \infty\] es decir, que la distribución de \(\bar{x}_n\) se puede escribir como \[\bar{x}_n \overset{aprox}{\sim} N(\mu, \sigma^2/n)\]

a medida que \(n\) aumenta.

Implicaciones

  • Garantiza un patrón de comportamiento de las medias muestrales siempre y cuando se cumpla la condición que \(n\) es suficientemente grande.

  • La media de la distribución de las \(\bar{x}\) coincide con la media de la población \(\mu\).

  • La variabilidad de la distribución de las \(\bar{x}\) esta dada por \(\sigma^2/n\) y disminuye a medida que aumenta \(n\).

  • A medida que \(n\) aumenta, las medias muestrales \(\bar{x}\) tienen distribución normal sin importar la distribución de la población de la cual fueron obtenidas.